پرش به محتویات

شبیه‌سازی توسط اکسل

اکسل ابزار کاملی برای شبیه سازی نیست لیکن به کمک محیط کاربر پسند آن می‌توان مسائل ساده را مدل سازی کرد.

شبیه‌سازی متغیرهای تصادفی

اکثر قریب به اتفاق مدل‌های شبیه‌سازی به نوعی از متغیرهای تصادفی بعنوان متغیر وضعیت استفاده می‌کنند. مقادیر این متغیرها بصورت تصادفی از توزیع‌های احتمال و یا تاریخچه اطلاعات گذشته تولید می‌شوند. به طور مثال در مدل سازی یک بانک زمان ورود یا خروج مشتری یک متغیر از نوع تصادفی است. در اکسل متغیرهای تصادفی معمولاً بین صفر تا یک تولید شده و سپس به بازه‌های بزرگتر یا کوچکتر تبدیل می‌شوند. به این توابع مولدهای اعداد تصادفی (RNG1) می‌گویند. هر عدد تصادفی تولید شده بایستی مستقل از اعداد تصادفی قبل از خود باشد.

مثال سکه عادلانه

انداختن ۱۰ سکه عادلانه را با استفاده از اکسل شبیه سازی کنید.

سکه عادلانه: احتمال شیر یا خط ۵۰ درصد است.

پاسخ

لینک گوگل شیت

مثال زمان خدمت

یک سیستم اطلاعات تلفنی ۳، ۶ یا ۱۰ دقیقه با هر تماس گیرنده زمان صرف می‌کند. احتمال متناظر با هر سرویس به ترتیب ۳۰، ۴۵ و ۲۵ می‌باشد. زمان تماس با ۲۵ تماس گیرنده را به صورت تصادفی در اکسل تولید کنید.

زمان خدمت احتمال احتمال تجمعی
3 0.3 0.3
6 0.45 0.75
10 0.25 1
پاسخ

لینک گوگل شیت

شبیه‌سازی صف

مشخصه‌های سیستم مبتنی بر صف

  • جمعیت خدمت خواه
  • مکانیسم ورود
  • مکانیسم خدمت
  • ظرفیت سیستم
  • مکانیسم صف

نمونه‌هایی از سیستم‌های مبتنی بر صف

  • مرکز تماس مانند ۱۱۸
  • مشتری‌های شرکت ایران خودرو
  • موبایل‌های در دست تعمیر در مرکز خدمات پس از فروش سامسونگ

در سیستم‌های مبتنی بر صف، زمان ورود هر واحد2، و مدت هر خدمت از نوع متغیرهای تصادفی هستند.

Single channel queueing system

برخی نکات و مفروضات در مورد سیستم‌های صف:

  • در دنیای واقعی زمان ورود هر واحد و مدت ارائه هر خدمت در طول زمان ممکن است تغییر کند که در این فصل برای ساده سازی از این موضوع صرف نظر می‌شود.
  • ظرفیت خدمت دهی سیستم بدون محدودیت فرض می‌شود
  • واحدها به ترتیب ورودشان خدمت دهی می‌شوند3
  • نرخ کلی ورود بایستی کمتر از نرخ کلی سرویس باشد. در غیر این صورت طول صف بدون محدودیت افزایش می‌یابد
  • ساعت شبیه سازی به عنوان مبنای زمان در نظر گرفته می‌شود
  • تا زمانی که صف خالی نشده خدمت رسان نمی‌تواند بیکار باشد

Arrival event flowchart

Departure event flowchart

مرجع تخمین زمان تصادفی یک مدل/توزیع احتمال است که بر اساس داده‌های واقعی و یا فرضیات و تخمین‌های شهودی به دست می‌آید.

مثال شبیه‌سازی صف

تعداد ۲۰ خدمت خواه در یک صف را با مشخصات زیر شبیه سازی کنید:

  • زمان ورود با فاصله بین ۱ تا ۶ دقیقه بعد از واحد قبلی
  • مدت ارائه خدمت بین ۱ تا ۴ دقیقه
پاسخ

لینک گوگل شیت

تمرین: مرکز تماس دونفره

یک مرکز پشتیبانی کامپیوتری توسط دو نفر پشتیبانی می‌شود. زمان بینتماس‌ها بین ۱ تا ۴ دقیقه می‌باشد که توزیع احتمال آنها در جدول زیر نمایش داده شده است. پشتیبان یک تجربه کاری بیشتری داشته و می‌تواند تماس‌ها را در فاصله کمتری پاسخ دهد. زمان پاسخ هر دو پشتیبان در جداول جداگانه داده شده است. زمانی که هر دو پشتیبان بیکار باشند پشتیبان اول پاسخ تلفن را می‌دهد. اگر هر دو پشتیبان مشغول باشند تماس تا زمان آزاد شدن یکی از آنها نگه داشته می‌شود.

فاصله بین تماس‌ها به دقیقه احتمال احتمال تجمعی
1 0.25 0.25
2 0.40 0.65
3 0.20 0.85
4 0.15 1.00
زمان پاسخگویی پشتیبان اول به دقیقه احتمال احتمال تجمعی
2 0.30 0.30
3 0.28 0.58
4 0.25 0.83
5 0.17 1.00
زمان پاسخگویی پشتیبان دوم به دقیقه احتمال احتمال تجمعی
3 0.35 0.35
4 0.25 0.60
5 0.20 0.80
6 0.20 1.00

شبیه‌سازی انبار

شبیه‌سازی ورود و خروج کالا یا محصول از انبار یکی از مسائل متداول شبیه سازی می‌باشد که به سیستم \((M,N)\) معروف است. که در آن \(M\) حداکثر موجودی و \(N\) دوره زمانی است که موجودی چک شده و در صورت کمبود موجودی سفارشی به مقدار \(Q\) برای افزایش موجودی به سطح \(M\) صادر می‌شود. به منظور ساده سازی ممکن است فاصله زمانی میان سفارش و تامین آن صفر در نظر گرفته شود. به عبارت دیگر فرض می‌شود که سفارش به محض صدور تامین شده و در انبار موجود می‌شود. البته در عمل این زمان صفر نبوده و گاهی به دلیل حساسیت آن به صورت یک متغیر تصادفی در شبیه سازی لحاظ می‌شود. متغیرهای مورد استفاده در شبیه‌سازی انبار را می‌توان به صورت زیر خلاصه نمود:

  • \(M\): حداکثر سطح موجودی
  • \(N\): بازه زمانی بررسی موجودی
  • \(Q\): مقدار سفارش
  • \(L\): فاصله زمانی بین سفارش و تامین موجودی

Inventory system

در مدل‌های شبیه‌سازی انبار عمدتاً دخل و خرج‌های زیر در نظر گرفته می‌شود:

  • درآمد فروش
  • هزینه‌های فروش
  • هزینه‌های حمل داخل انبار
  • هزینه‌های حمل خارج انبار
  • هزینه‌های سفارش
  • هزینه‌های استهلاک و خسارات وارده به کالاها
  • هزینه‌های فضای انبار
  • هزینه‌های تخفیف

تمرین: شبیه‌سازی سرویس ماشین تراشکاری

یک ماشین تراشکاری دارای سه بلبرینگ است که بایستی به موقع سرویس شوند. توزیع احتمال عمر مفید بلبرینگ‌ها در جدول زیر ارائه شده است. زمانی که یک بلبرینگ خراب می‌شود ماشین تراشکاری متوقف شده و یک مکانیک بلبرینگ را تعویض می‌کند. هزینه تعویض هر بلبرینگ ۳۲ دلار می‌باشد. توزیع احتمال زمان رسیدن مکانیک به محل دستگاه در جدول مربوطه داده شده است. زمان خواب دستگاه در هر دقیقه ۱۰ دلار هزینه دارد. دستمزد ساعتی مکانیک ۳۰ دلار در ساعت می‌باشد. مکانیک ۲۰ دقیقه برای تعویض یک بلبرینگ، ۳۰ دقیقه برای دو بلبرینگ، و ۴۰ دقیقه برای سه بلبرینگ زمان صرف می‌کند. پیشنهاد تیم مهندسی این است که زمانی که یک بلبرینگ خراب می‌شود مکانیک هر سه بلبرینگ را تعویض کند. یک مدل شبیه‌سازی بسازید که به مدیریت در تصمیم گیری در این مورد کمک کند. سناریوهای مختلف را برای ۱۰ هزار ساعت بلبرینگ مقایسه نمایید.

عمر مفید بلبرینگ احتمال احتمال تجمعی
1000 0.10 0.1
1100 0.13 0.23
1200 0.25 0.48
1300 0.13 0.61
1400 0.09 0.70
1500 0.12 0.82
1600 0.02 0.84
1700 0.06 0.90
1800 0.05 0.95
1900 0.05 1.00
زمان تأخیر مکانیک احتمال احتمال تجمعی
5 0.60 0.60
10 0.30 0.90
15 0.10 1.00

شبیه سازی توزیع تقاضا در زمان تامین4

زمان تامین عبارت است از فاصله زمانی بین صدور سفارش و تامین آن. سفارشاتی که در این فاصله زمانی توسط مشتری داده می‌شود تقاضا در زمان تامین نامیده می‌شود. این مسئله از نوع رویداد گسسته نیست و در آن ساعت و رویداد وجود ندارد بلکه به روش مونت کارلو شبیه‌سازی می‌شود. توزیع تقاضا در زمان تامین به عنوان یکی از متغیرهای تصادفی مدل شبیه سازی انبار مورد استفاده قرار می‌گیرد. در این شبیه سازی تقاضا و زمان تامین متغیرهای تصادفی در نظر گرفته می‌شود. کل تقاضا در زمان تامین از رابطه زیر به دست می‌آید که در آن \(T\) زمان تامین و \(D_i\) تعداد تقاضا در دوره \(i\) می‌باشد.

\[D = \sum_{i=0}^{T}D_i\]

مثال تقاضا در زمان تامین

تعداد روزانه تقاضا برای یک محصول و زمان مورد نیاز برای تامین آن در جداول زیر داده شده است. تقاضا در زمان تامین این محصول را شبیه سازی کنید.

تقاضای روزانه 3 4 5 6
احتمال 0.20 0.35 0.30 0.15
زمان تامین 1 2 3
احتمال 0.36 0.42 0.22
پاسخ

لینک گوگل شیت

شبیه‌سازی زمانبندی پروژه

زمانبندی پروژه شامل مجموعه‌ای از فعالیت‌های به هم مرتبط هستند که زمان هر فعالیت به صورت یک متغیر تصادفی در نظر گرفته می‌شود که بین یک مقدار خوشبینانه و بدبینانه متغیر است. در شبکه پروژه بعضی از فعالیت‌ها می‌توانند به صورت موازی با سایر فعالیت‌ها انجام شوند. احتمال بروز شناوری در فعالیت‌های موازی وجود دارد. فعالیت‌هایی که فاقد شناوری هستند با نام فعالیت‌های بحرانی شناخته می‌شوند. زنجیره فعالیت‌های بحرانی مسیر بحرانی را تشکیل می‌دهد که طولانی‌ترین مسیر انجام پروژه است. نکته قابل توجه در این شبیه‌سازی این است که مدت انجام فعالیت‌ها یک متغیر عدد صحیح است.

مثال شبیه سازی زمانبندی پروژه

پروژه‌ای با فعالیت‌های زیر داده شده است. آن را شبیه سازی نموده و زمان پروژه و احتمال بحرانی شدن هر یک از فعالیت‌ها را مشخص کنید.

فعالیت پیش نیاز مدت خوشبینانه مدت بدبینانه
A 2 4
B 3 6
C 6 12
D A 2 4
E B 3 6
F D 2 4
شبکه پروژه

Project network

پاسخ

لینک گوگل شیت

متغیر تصادفی با توزیع نرمال

توزیع نرمال یا توزیع گاوسی یکی از مهم‌ترین و پرکاربردترین توزیع‌های احتمالی در آمار است. این توزیع به دلیل شکل منحنی آن که شبیه یک زنگوله است، به منحنی زنگوله‌ای نیز معروف است. بسیاری از پدیده‌های طبیعی و اجتماعی از توزیع نرمال پیروی می‌کنند. به عنوان مثال، قد افراد، وزن افراد، نمرات آزمون‌ها و بسیاری موارد دیگر.

Normal distribution

ویژگی‌های توزیع نرمال:

  • تقارن: منحنی توزیع نرمال حول میانگین به صورت متقارن است
  • میانگین، میانه و مد برابرند: در توزیع نرمال، این سه مقدار همگی با هم برابرند
  • بیشتر داده‌ها به میانگین نزدیک هستند: اکثر داده‌ها در اطراف میانگین متمرکز شده‌اند و به تدریج از آن دور می‌شوند
  • انحراف معیار: انحراف معیار نشان‌دهنده پراکندگی داده‌ها حول میانگین است. در توزیع نرمال، حدود 68% داده‌ها در فاصله یک انحراف معیار از میانگین، حدود 95% داده‌ها در فاصله دو انحراف معیار از میانگین و حدود 99.7% داده‌ها در فاصله سه انحراف معیار از میانگین قرار دارند
توزیع نرمال

تولید متغیر تصادفی نرمال در اکسل

لینک گوگل شیت

مثال متغیر تصادفی با توزیع نرمال

توزیع متغیرهای تصادفی \(X\)، \(Y\) و \(Z\) بصورت زیر است.

\[X \sim N(\mu = 100, \sigma^2 = 100)\]
\[Y \sim N(\mu = 300, \sigma^2 = 225)\]
\[Z \sim N(\mu = 40, \sigma^2 = 64)\]

50 متغیر تصادفی با رابطه زیر ایجاد کرده و هیستوگرام آن را ترسیم کنید:

\[W = \frac{X + Y}{Z}\]
پاسخ

لینک گوگل شیت

تمرین متغیر تصادفی ترکیبی

سه متغیر تصادفی \(A\)، \(B\) و \(C\) به صورت زیر تعریف شده‌اند:

  • \(A\) توزیع نرمال با میانگین ۱۰۰ و انحراف معیار ۲۰۰
  • \(B\) توزیع یکنواخت با مقادیر گسسته ۰ تا ۴
  • \(C\) به صورت جدول زیر توزیع شده است
مقدار \(C\) احتمال
10 0.10
20 0.25
30 0.50
40 0.15

100 نمونه از متغیر \(D\) را بر اساس رابطه زیر تولید کنید

\[D = \frac{A - 25B}{C}\]

تمرین شبیه‌سازی حمل و نقل تاکسی تلفنی

یک آژانس حمل و نقل، قصد دارد یک یا دو تاکسی جدید به ناوگانش اضافه کند. زمان تقاضای تاکسی و زمان سفر در جدول زیر ارائه شده است. مسئله را برای ۵ روز متوالی شبیه سازی کرده و به مدیریت آژانس در تصمیم‌گیری خرید یک یا دو تاکسی کمک کنید.

زمان بین تماس‌ها (دقیقه) احتمال
15 0.14
20 0.22
25 0.43
30 0.17
35 0.04
زمان سفر (دقیقه) احتمال
5 0.12
15 0.35
25 0.43
35 0.06
45 0.04

مثال فعالیت کارگاهی

یک فعالیت کارگاهی به صورت صف با اطلاعات جدول زیر داده شده است. در صورتی که زمان پردازش فعالیت یک توزیع نرمال با میانگین ۵۰ دقیقه و انحراف معیار ۸ دقیقه باشد، جدول شبیه سازی را برای ۱۰ ورودی جدید تشکیل داده و موارد زیر را به دست آورید:

  • میانگین زمان انتظار در صف
  • میانگین زمان پردازش
  • کل مدت پردازش
فاصله بین ورودها احتمال
0 0.23
1 0.37
2 0.28
3 0.12
پاسخ

لینک گوگل شیت

تمرین آسانسور حمل بار

یک آسانسور صنعتی ۴۰۰ کیلوگرم از سه نوع بار مختلف به شرح جدول زیر را بین طبقه دو طبقه جابجا می‌کند. این آسانسور فاصله‌ای بین دو طبقه را در یک دقیقه طی می‌کند. زمان تخلیه بار دو دقیقه اندازه‌گیری شده است. آسانسور فقط زمانی حرکت می‌کند که تا حداکثر ظرفیت پر شود. سیستم را برای یک ساعت شبیه سازی کنید و موارد زیر را تحلیل کنید:

  • میانگین زمان جابجایی بار چقدر است؟
  • چه تعداد بار در یک ساعت جابجا شده است؟
بار وزن فاصله بین ورودها (دقیقه)
\(A\) 200 \(5 \pm 2\) (یکنواخت)
\(B\) 100 \(6\) (ثابت)
\(C\) 50 \(P(2) = 0.33\)
\(P(3) = 0.67\)

مقالات

  1. Random Number Generator ↩

  2. به هر یک از موجودیت‌های در صف واحد گفته می‌شود ↩

  3. FIFO: First-In-First-Out ↩

  4. Lead-Time Demand ↩